CHỨNG MINH CHIA HẾT LỚP 8

     

* HS thường xuyên thực hành thạo về các bài toán chứng minh chia hết, không phân tách hết, sốnguyên tố, số bao gồm phương…

* áp dụng thành nhuần nhuyễn kỹ năng minh chứng về phân tách hết, không phân tách hết… vào những bài toán thay thể

B.KIẾN THỨC VÀ CÁC BÀI TOÁN:

I. Dạng 1: chứng minh quan hệ phân tách hết

1. Con kiến thức:

* Để minh chứng A(n) phân tách hết cho một số trong những m ta đối chiếu A(n) thành nhân tử gồm một nhân tử làm cho hoặc bội của m, giả dụ m là đúng theo số thì ta lại so sánh nó thành nhân tử có các đoi một nguyên tố cùng nhau, rồi chứng tỏ A(n) phân chia hết cho những số đó

* Chú ý:

+ với k số nguyên liên tiếp lúc nào củng mãi sau một bội của k

+ Khi chứng minh A(n) chia hết mang đến m ta xét đều trường đúng theo về số dư khi chia A(n) mang lại m

+ với mọi số nguyên a, b cùng số tự nhiên n thì:




Bạn đang xem: Chứng minh chia hết lớp 8

*

2. Bài tập:

2. Những bài toán

Bài 1: chứng minh rằng

a) 251 - 1 chia hết đến 7 b) 270 + 370 chia hết mang đến 13

c) 1719 + 1917 đưa ra hết mang lại 18 d) 3663 - 1 chia hết mang đến 7 tuy thế không phân tách hết đến 37

e) 24n -1 phân tách hết mang lại 15 với n∈ N

Giải

a) 251 - 1 = (23)17 - 1 23 - 1 = 7

b) 270 + 370 (22)35 + (32)35 = 435 + 935 4 + 9 = 13

c) 1719 + 1917 = (1719 + 1) + (1917 - 1)

1719 + 1 17 + 1 = 18 với 1917 - 1 19 - 1 = 18 đề nghị (1719 + 1) + (1917 - 1)

hay 1719 + 1917 18

d) 3663 - 1 36 - 1 = 35 7

3663 - 1 = (3663 + 1) - 2 chi cho 37 dư - 2

e) 2 4n - 1 = (24) n - 1 24 - 1 = 15

Bài 2: chứng minh rằng

a) n5 - n chia hết cho 30 cùng với n ∈ N ;

b) n4 -10n2 + 9 chia hết đến 384 với tất cả n lẻ n∈ Z

c) 10n +18n -28 phân tách hết mang đến 27 với n∈ N ;

Giải:

a) n5 - n = n(n4 - 1) = n(n - 1)(n + 1)(n2 + 1) = (n - 1).n.(n + 1)(n2 + 1) phân chia hết đến 6 vì

(n - 1).n.(n+1) là tích của tía số tự nhiên tiếp tục nên phân chia hết mang lại 2 cùng 3 (*)

Mặt không giống n5 - n = n(n2 - 1)(n2 + 1) = n(n2 - 1).(n2 - 4 + 5) = n(n2 - 1).(n2 - 4 ) + 5n(n2 - 1)

= (n - 2)(n - 1)n(n + 1)(n + 2) + 5n(n2 - 1)

Vì (n - 2)(n - 1)n(n + 1)(n + 2) là tích của 5 số từ bỏ nhiên tiếp tục nên chia hết mang lại 5

5n(n2 - 1) phân tách hết mang đến 5

Suy ra (n - 2)(n - 1)n(n + 1)(n + 2) + 5n(n2 - 1) phân chia hết cho 5 (**)

Từ (*) và (**) suy ra đpcm

b) Đặt A = n4 -10n2 + 9 = (n4 -n2 ) - (9n2 - 9) = (n2 - 1)(n2 - 9) = (n - 3)(n - 1)(n + 1)(n + 3)

Vì n lẻ nên được đặt n = 2k + 1 (k

*

Z) thì

A = (2k - 2).2k.(2k + 2)(2k + 4) = 16(k - 1).k.(k + 1).(k + 2)

*

A chia hết mang đến 16 (1)

Và (k - 1).k.(k + 1).(k + 2) là tích của 4 số nguyên tiếp tục nên A có chứa bội của 2, 3, 4 nên A là bội của 24 tuyệt A phân chia hết cho 24 (2)

Từ (1) với (2) suy ra A phân tách hết mang đến 16. 24 = 384

c) 10 n +18n -28 = ( 10 n - 9n - 1) + (27n - 27)

+ Ta có: 27n - 27 27 (1)


*

Từ (1) cùng (2) suy ra đpcm

3. Bài xích 3: chứng tỏ rằng với đa số số nguyên a thì


a) a3 - a chia hết mang đến 3

b) a7 - a phân tách hết mang đến 7

Giải

a) a3 - a = a(a2 - 1) = (a - 1) a (a + 1) là tích của cha số nguyên liên tục nên tồn tại một số trong những là bội của 3 đề nghị (a - 1) a (a + 1) chia hết đến 3

b) ) a7 - a = a(a6 - 1) = a(a2 - 1)(a2 + a + 1)(a2 - a + 1)

Nếu a = 7k (k

*



Xem thêm: Nghĩa Của " Bạn Đến Từ Đâu Tiếng Anh Là Gì, Bạn Đến Từ Đâu

Z) thì a phân tách hết mang đến 7

Nếu a = 7k + 1 (k
Z) thì a2 - 1 = 49k2 + 14k phân tách hết đến 7

Nếu a = 7k + 2 (k
Z) thì a2 - a + 1 = 49k2 + 35k + 7 phân chia hết cho 7

Trong trường hòa hợp nào củng tất cả một thừa số phân tách hết mang đến 7

Vậy: a7 - a phân chia hết đến 7

Bài 4: chứng minh rằng A = 13 + 23 + 33 + ...+ 1003 chia hết mang lại B = 1 + 2 + 3 + ... + 100

Giải

Ta có: B = (1 + 100) + (2 + 99) + ...+ (50 + 51) = 101. 50

Để chứng minh A chia hết mang lại B ta minh chứng A chia hết đến 50 cùng 101

Ta có: A = (13 + 1003) + (23 + 993) + ... +(503 + 513)

= (1 + 100)(12 + 100 + 1002) + (2 + 99)(22 + 2. 99 + 992) + ... + (50 + 51)(502 + 50. 51 + 512) = 101(12 + 100 + 1002 + 22 + 2. 99 + 992 + ... + 502 + 50. 51 + 512) phân chia hết mang lại 101 (1)

Lại có: A = (13 + 993) + (23 + 983) + ... + (503 + 1003)

Mỗi số hạng vào ngoặc đông đảo chia hết mang lại 50 đề nghị A chia hết cho 50 (2)

Từ (1) và (2) suy ra A chia hết mang lại 101 cùng 50 yêu cầu A chi hết đến B

Bài tập về nhà

Chứng minh rằng:

a) a5 – a chia hết cho 5

b) n3 + 6n2 + 8n phân chia hết cho 48 với đa số n chẵn

c) cho a l à số nguyên tố lớn hơn 3. Cmr a2 – 1 phân chia hết mang đến 24

d) trường hợp a + b + c chia hết đến 6 thì a3 + b3 + c3 phân tách hết đến 6

e) 20092010 không phân tách hết cho 2010

f) n2 + 7n + 22 không phân tách hết cho 9

Dạng 2: tìm kiếm số dư của một phép chia

Bài 1:

Tìm số dư khi phân tách 2100

a)cho 9, b) mang đến 25, c) mang đến 125

Giải

a) Luỹ vượt của 2 cạnh bên với bội của 9 là 23 = 8 = 9 - 1

Ta tất cả : 2100 = 2. (23)33 = 2.(9 - 1)33 = 2. = B(9) - 2 = B(9) + 7

Vậy: 2100 phân chia cho 9 thì dư 7

b) tương tự như ta có: 2100 = (210)10 = 102410 = 10 = B(25) + 1

Vậy: 2100 chia chop 25 thì dư 1

c)Sử dụng phương pháp Niutơn:

2100 = (5 - 1)50 = (550 - 5. 549 + … +
. 52 - 50 . 5 ) + 1

Không kể phần hệ số của khai triển Niutơn thì 48 số hạng đầu đã cất thừa số 5 cùng với số mũ lớn hơn hoặc bằng 3 đề xuất đều chia hết đến 53 = 125, nhì số hạng tiếp theo:
. 52 - 50.5 cũng phân tách hết đến 125 , số hạng ở đầu cuối là 1

Vậy: 2100 = B(125) + 1 đề xuất chia đến 125 thì dư 1

Bài 2:

Viết số 19951995 thành tổng của những số tự nhiên . Tổng những lập phương đó phân chia cho 6 thì dư bao nhiêu?

Giải

Đặt 19951995 = a = a1 + a2 + …+ an.

Gọi
=
+ a - a

= (a1 3 - a1) + (a2 3 - a2) + …+ (an 3 - an) + a

Mỗi vệt ngoặc những chia hết mang đến 6 vì mỗi dấu ngoặc là tích của ba số tự nhiên và thoải mái liên tiếp. Chỉ cần tìm số dư khi phân tách a mang lại 6

1995 là số lẻ phân tách hết mang lại 3, bắt buộc a củng là số lẻ chia hết mang lại 3, vì vậy chia mang lại 6 dư 3

Bài 3: Tìm bố chữ số tận thuộc của 2100 viết trong hệ thập phân

giải


Tìm 3 chữ số tận thuộc là tìm kiếm số dư của phép phân chia 2100 đến 1000

Trước hết ta tìm kiếm số dư của phép phân chia 2100 đến 125

Vận dụng bài 1 ta có 2100 = B(125) + 1 nhưng mà 2100 là số chẵn đề nghị 3 chữ số tận cùng của nó chỉ hoàn toàn có thể là 126, 376, 626 hoặc 876

Hiển nhiên 2100 chia hết cho 8 vày 2100 = 1625 bỏ ra hết đến 8 nên cha chữ số tận thuộc của nó chia hết mang đến 8

trong các số 126, 376, 626 hoặc 876 chỉ bao gồm 376 phân tách hết đến 8

Vậy: 2100 viết trong hệ thập phân có cha chữ số tận thuộc là 376

Tổng quát: trường hợp n là số chẵn không chia hết mang đến 5 thì 3 chữ số tận cùng của nó là 376

Bài 4: tìm số dư trong phép chia các số sau đến 7

a) 2222 + 5555 b)31993

c) 19921993 + 19941995 d)

Giải

a) ta có: 2222 + 5555 = (21 + 1)22 + (56 – 1)55 = (BS 7 +1)22 + (BS 7 – 1)55

= BS 7 + 1 + BS 7 - 1 = BS 7 buộc phải 2222 + 5555 chia 7 dư 0

b) Luỹ vượt của 3 gần kề với bội của 7 là 33 = BS 7 – 1

Ta thấy 1993 = BS 6 + 1 = 6k + 1, vày đó:

31993 = 3 6k + 1 = 3.(33)2k = 3(BS 7 – 1)2k = 3(BS 7 + 1) = BS 7 + 3

c) Ta thấy 1995 chia hết cho 7, vì chưng đó:

19921993 + 19941995 = (BS 7 – 3)1993 + (BS 7 – 1)1995 = BS 7 – 31993 + BS 7 – 1

Theo câu b ta gồm 31993 = BS 7 + 3 buộc phải

19921993 + 19941995 = BS 7 – (BS 7 + 3) – 1 = BS 7 – 4 nên chia đến 7 thì dư 3

d)


Xem thêm: Hoàn Cảnh Sáng Tác Các Văn Bản Lớp 9, Hoàn Cảnh Sáng Tác Tác Phẩm Văn Hiện Đại

= 32860 = 33k + 1 = 3.33k = 3(BS 7 – 1) = BS 7 – 3 đề xuất chia mang lại 7 thì dư 4

Dạng 3: Tìm điều kiện để xẩy ra quan hệ chia hết

Bài 1: kiếm tìm n
Z để quý hiếm của biểu thức A = n3 + 2n2 - 3n + 2 phân chia hết cho giá trị của biểu thức B = n2 - n

Giải

Chia A mang đến B ta có: n3 + 2n2 - 3n + 2 = (n + 3)(n2 - n) + 2

Để A phân tách hết cho B thì 2 cần chia hết cho n2 - n = n(n - 1) cho nên vì thế 2 chia hết mang đến n, ta có:

n

1

- 1

2

- 2

n - 1

0

- 2

1

- 3

n(n - 1)

0

2

2

6

loại

loại

Vậy: Để cực hiếm của biểu thức A = n3 + 2n2 - 3n + 2 phân chia hết mang lại giá trị của biểu thức