Chuyên đề tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của biểu thức

     

Tìm giá tị lớn số 1 (GTLN) cùng giá trị bé dại nhất (GTNN) của biểu thức (biểu thức đựng dấu căn, biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối,...) là trong những dạng toán lớp 9 có rất nhiều bài tương đối khó và đòi hỏi kiến thức áp dụng linh hoạt trong những bài toán.

Bạn đang xem: Chuyên đề tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của biểu thức


Bài viết này sẽ share với các em một số cách tìm giá trị lớn nhất (GTLN, Max) với giá trị nhỏ tuổi nhất (GTNN, Min) của biểu thức (biểu thức đại số đựng dấu căn, đựng dấu quý giá tuyệt đối,...) qua một vài bài tập minh họa núm thể.

° Cách tìm giá bán trị bự nhất, giá bán trị nhỏ dại nhất của biểu thức đại số:

* Phương pháp: (đối với biểu thức 1 biến đổi số)

- mong tìm giá chỉ trị lớn số 1 hay giá chỉ trị nhỏ nhất của một biểu thức ta bao gồm thể đổi khác biểu thức thành dạng: A2(x) + const ;(A biểu thức theo x, const = hằng số).

* lấy ví dụ 1: mang đến biểu thức: A = x2 + 2x - 3. Tìm GTNN của A.

° Lời giải:

- Ta có: A = x2 + 2x - 3 = x2 + 2x + 1 - 1 - 3 = (x + 1)2 - 4

- vì (x + 1)2 ≥ 0 ⇒ (x + 1)2 - 4 ≥ -4 

 ⇒ A ≥ - 4 dấu bởi xảy ra, tức A = - 4 ⇔ x + 1 = 0 ⇔ x = -1

- Kết luận: Amin = -4 khi và chỉ còn khi x = -1.

* ví dụ 2: Cho biểu thức: A = -x2 + 6x - 5. Tra cứu GTLN của A.

° Lời giải:

- Ta có: A = -x2 + 6x - 5 = -x2 + 6x - 9 + 9 - 5 = -(x - 3)2 + 4 = 4 - (x - 3)2

- vì chưng (x - 3)2 ≥ 0 ⇒ -(x - 3)2 ≤ 0 ⇒ 4 - (x - 3)2 ≤ 4

 ⇒ A ≤ 4 dấu bằng xảy ra, tức A = 4 ⇔ x - 3 = 0 ⇔ x = 3

- Kết luận: Amax = 4 khi và chỉ còn khi x = 3.

Xem thêm: Tiếng Anh Lớp 10 Unit 12 Reading Unit 12 Lớp 10 Trang 124, Tiếng Anh 10 Unit 12 Reading

* lấy ví dụ 3: Cho biểu thức: 

*

- tra cứu x để Amax; tính Amax =?

° Lời giải:

- Để A đạt gía trị lớn số 1 thì biểu thức (x2 + 2x + 5) đạt giá chỉ trị nhỏ nhất.

- Ta có: x2 + 2x + 5 = x2 + 2x + 1 + 4 = (x + 1)2 + 4

- Vì (x + 1)2 ≥ 0 nên (x + 1)2 + 4 ≥ 4 

 dấu "=" xảy ra khi còn chỉ khi x + 1 = 0 ⇔ x = -1

 Vậy

*

 

*

*

° Cách tìm giá bán trị khủng nhất, giá bán trị nhỏ nhất của biểu thức đựng dấu căn:

* Phương pháp: (đối với biểu thức 1 biến đổi số)

- cũng tương tự như phương pháp tìm ở phương pháp trên, vận dụng đặc điểm của biểu thức không âm như:

 

*
 hoặc 
*

- lốt "=" xảy ra khi A = 0.

* lấy ví dụ như 1: Tìm GTNN của biểu thức: 

*

° Lời giải:

- Ta thấy: 

*
 

 

*

 Vì (x - 1)2 ≥ 0 ⇒ 2(x - 1)2 ≥ 0 ⇒ 2(x - 1)2 + 3 ≥ 3

 nên 

*
 dấu "=" xảy ra khi x - 1 = 0 ⇔ x = 1

*

* lấy ví dụ như 2: Tìm GTLN của biểu thức: 

*

° Lời giải:

- Ta có: 

*

 

*

 Vì (x - 1)2 ≥ 0 ⇒ -3(x - 1)2 ≤ 0 ⇒ -3(x - 1)2 + 5 ≤ 5

 nên 

*
 dấu "=" xẩy ra khi x - 1 = 0 ⇔ x = 1

 

*

* lấy ví dụ như 3: Tìm GTLN của biểu thức: 

*

° Lời giải:

- Ta có:

*

 

*

 

*

 

*

 

*
 nên giá chỉ trị bé dại nhất của B là 
*
 đạt được khi:

 

*

* lấy một ví dụ 4: Tìm GTLN của biểu thức:

*

° Lời giải:

- Điều kiện: x≥0

- Để A đạt giá bán trị lớn nhất thì 

*
 đạt giá bán trị nhỏ dại nhất

- Ta có: 

*

 

*

 Lại có: 

*
*

 Dấu"=" xẩy ra khi 

*

*

*

- Kết luận: GTLN của A = 4/7 lúc x = 1/4.

° Cách tìm giá chỉ trị béo nhất, giá trị nhỏ dại nhất của biểu thức đựng dấu quý giá tuyệt đối:

* Phương pháp: (đối với biểu thức 1 đổi mới số)

- vấn đề này cũng nhà yếu nhờ vào tính không âm của trị tuyệt đối.

* ví dụ 1: search GTLN của biểu thức: 

*

° Lời giải:

- Ta có: |2x - 2| ≥ 0 ⇔ -|2x - 2| ≤ 0 ⇔ 5 -|2x - 2| ≤ 5

 Dấu "=" xẩy ra khi |2x - 2| = 0 ⇔ 2x - 2 = 0 ⇔ x = 1

 Vậy Amax = 5 ⇔ x = 1

* lấy một ví dụ 2: Tìm GTNN của biểu thức: A = |9 - x| - 3

° Lời giải:

- Ta có: |9 - x| ≥ 0 ⇔ |9 - x| ≥ 0 ⇔ |9 - x| - 3 ≥ -3

Dấu "=" xảy ra khi |9 - x| = 0 ⇔ 9 - x = 0 ⇔ x = 9

 Vậy Amin = -3 ⇔ x = 9

Như vậy, các bài toán trên dựa vào các biến đổi về dạng tổng hoặc hiệu của biểu thức không âm (bình phương, trị hay đối,...) cùng hằng số để tìm ra lời giải. Thực tế, còn nhiều câu hỏi phải sử dụng bất đẳng thức Cauchy (Cosi) mang lại hai số a, b không âm: 

*
 (Dấu "=" xảy ra khi a =b) hay áp dụng bất đẳng thức đựng dấu giá trị tuyệt đối:
*
 (dấu "=" xảy ra khi còn chỉ khi a.b≥ 0); 
*
, (dấu "=" xảy ra khi và chỉ còn khi a.b≤ 0).

Xem thêm: Bạn Có Tin Việc Nhai Kẹo Cao Su Có Giảm Béo Mặt Có Thực Sự Hiệu Quả Hay Không?

* lấy một ví dụ 1: Tìm giá bán trị nhỏ nhất của biểu thức: 

*

° Lời giải:

- vày a,b>0 nên 

*

- Áp dụng bất đẳng thức Cauchy (còn điện thoại tư vấn là bất đẳng thức đối chiếu giữa trung bình cộng và vừa phải nhân AM-GM (Arithmetic Means - Geometric Means)).