Định lý giá trị trung bình

     
Định lý Rolle là một trường hợp cụ thể của định lý cực hiếm trung bình thỏa mãn các đk nhất định. Đồng thời, định lý quý hiếm trung bình của Lagrange là chính định lý cực hiếm trung bình hoặc định lý quý hiếm trung bình đầu tiên. Nói chung, ta có thể hiểu nghĩa là giá trị trung bình của những giá trị sẽ cho. Nhưng trong trường phù hợp tích phân, quá trình tìm giá trị trung bình của nhì hàm khác biệt là khác nhau. Chúng ta hãy mày mò định lý Rolle và quý giá trung bình của các hàm số đó và cách giải thích hình học tập của chúng .

Bạn đang xem: định lý giá trị trung bình


Contents

Giải phù hợp hình học tập của Định lý Rolle

Định lý quý hiếm trung bình của Lagrange

Nếu một hàm f được xác minh trên khoảng chừng đóng thỏa mãn các điều kiện sau:

i) Hàm f liên tục trên khoảng đóng

ii) Hàm f khả vi trên khoảng tầm hở (a, b)

Khi đó, sống thọ một cực hiếm x = c sao cho

f ‘(c) = < f (b) – f (a)> / (ba)

Định lý này nói một cách khác là định lý quý giá trung bình đầu tiên hoặc định lý quý giá trung bình Lagrange .

Giải ưng ý Hình học tập của Định lý cực hiếm Trung bình của Lagrange

Trong thiết bị thị đang cho, mặt đường cong y = f (x) thường xuyên từ x = a với x = b và riêng biệt được trong khoảng đóng thì theo định lý cực hiếm trung bình của Lagrange, đối với bất kỳ hàm nào thường xuyên trên < a , b > với khả vi bên trên ( a , b ) thì tồn tại một số c trong tầm ( a , b ) sao để cho đoạn nối những điểm cuối của khoảng tầm < a , b > tuy vậy song với tiếp con đường tại c .

           f′( c ) = f( b ) – f( a )b – a

Điều này hoàn toàn có thể được phát âm theo cách xuất sắc hơn với lấy ví dụ như được chỉ dẫn dưới đây.

Thí dụ:

Kiểm định Định lý quý giá Trung bình đến hàm f (x) = x 2 – 4x – 3 trong khoảng , trong những số đó a = 1 và b = 4.

Giải pháp:

Được,

f (x) = x 2 – 4x – 3

f ‘(x) = 2x – 4

a = 1 và b = 4 (đã cho)

f (a) = f (1) = (1) 2 – 4 (1) – 3 = 1 – 4 – 3 = -6

f (b) = f (4) = (4) 2 – 4 (4) – 3 = -3

Hiện nay,

/ (b – a) = (-3 + 6) / (4 – 1) = 3/3 = 1

Theo phát biểu định lý quý hiếm trung bình, bao gồm một điểm c ∈ (1, 4) thế nào cho f ‘(c) = / (b – a), có nghĩa là f’ (c ) = 1.

2c – 4 = 1

2c = 5

c = 5/2 ∈ (1, 4)

Xác minh: f ‘(c) = 2 (5/2) – 4 = 5 – 4 = 1

Do đó, vẫn xác minh định lý quý giá trung bình.

Định lý Rolle

Một ngôi trường hợp quan trọng đặc biệt của định lý quý hiếm trung bình của Lagrange là Định lý Rolle tuyên bố rằng:

Nếu một hàm f được xác định trong khoảng chừng đóng sao để cho nó thỏa mãn các đk sau.

Xem thêm: Xem Phim Cô Vịt Xấu Xí Phần 4 Tập 2 Full Hd, Xem Phim Thiên Đường Mỹ Nam Tập 2 Full Hd

i) Hàm f liên tục trên khoảng chừng đóng

ii) Hàm  f khả vi trên khoảng hở (a, b)

iii) bây giờ nếu f (a) = f  (b), thì tồn tại tối thiểu một quý hiếm của x, chúng ta hãy giả sử quý giá này là c, nằm trong lòng a và b có nghĩa là (a  ‘(c) = 0.

Chính xác là, nếu một hàm số thường xuyên trên khoảng chừng đóng với khả vi trên khoảng mở (a, b) thì lâu dài điểm x = c vào (a, b) sao cho f ‘(c) = 0

Giải yêu thích hình học tập của Định lý Rolle

Trong thứ thị sẽ cho, con đường cong y = f (x) thường xuyên giữa x = a cùng x = b cùng tại mọi điểm, trong vòng đó, rất có thể vẽ tiếp tuyến và hoành độ tương ứng với hoành độ và bằng nhau. Tồn tại tối thiểu một tiếp tuyến của con đường cong tuy vậy song cùng với trục x.

Về mặt đại số, định lý này cho chúng ta biết rằng nếu f (x) màn trình diễn một hàm nhiều thức theo x với hai nghiệm nguyên của phương trình f (x) = 0 là x = a cùng x = b, thì tồn tại ít nhất một nghiệm nguyên của phương trình f ‘(x) = 0 ở giữa các giá trị này.

Ngược lại của định lý Rolle là ko đúng cùng cũng rất có thể tồn tại nhiều hơn thế nữa một cực hiếm của x, cơ mà định lý này đúng dẫu vậy vẫn có phần trăm tồn tại của một quý hiếm như vậy.

Phát biểu định lý Rolle

Về phương diện toán học, định lý Rolle hoàn toàn có thể được phát biểu như sau:

Cho f: → R liên tiếp trên và khả vi bên trên (a, b), sao cho f (a) = f (b), trong các số đó a và b là một số thực. Khi kia tồn tại một số trong những c vào (a, b) làm sao cho f ′ (c) = 0.

Ví dụ về Định lý Rolle

Thí dụ:

Kiểm chứng định lý Rolle mang lại hàm số y = x 2 + 2, a = –2 và b = 2.

Xem thêm: Đây Mới Là Cách Làm Lông Mi Cong Cho Trẻ Sơ Sinh Dài, Có Nên Cắt Lông Mi Cho Bé

Giải pháp:

Từ có mang của định lý Rolle, hàm số y = x 2 + 2 liên tiếp trong <- 2, 2> và khả vi trong (- 2, 2).