PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ HÓA

     

Gắn hệ trục toạ độ vào hình không khí để giải toán nhiều lúc là biện pháp vô cùng hữu dụng đối với những việc khó trong không gian. Mặc dù nhiên, câu hỏi gắn trục toạ độ như thế nào để thuận tiện tìm được toạ độ những điểm trong hình thì đối với nhiều học sinh cũng như giáo viên nhiều lúc trở lên phức tạp.

Bạn đang xem: Phương pháp tọa độ hóa

Phức tạp ở đây là khi dạy học sinh gắn toạ độ trong không gian, giáo viên nỗ lực hướng dẫn học sinh gắn trục Oz vào đường cao của hình chop cũng giống như khối trụ. Điều này là khôn cùng thừa thãi với không đề nghị thiết, vì chưng trục Oz lại là trục ko dung đến khi giải theo phương pháp này.

Chúng tôi giới thiệu với các em học viên và giáo viên phương thức gắn toạ độ vô cùng đơn giản và hiệu quả trong đo lường trong đó thậm chí không phải vẽ trục Oz vào hình.

Bước 1: chọn hệ trục toạ độ (Oxyz)

Chọn Ox với Oy là 2 đường vuông góc cùng với nhau sinh sống đáy, O là giao của nó: việc này vô cùng dễ dàng bởi gần như đáy đều rất có thể chọn được, chẳng hạn như:

§ Tam giác: gắn vào con đường cao và cạnh đáy tương ứng

§ Hình chữ nhật, vuông: gắn vào 2 cạnh

§ Hình thoi: đã nhập vào 2 mặt đường chéo

§ Hình thang vuông: gắn vào 2 cạnh góc vuông

Oz không bắt buộc vẽ vào: nếu như vẽ thì nó kẻ trường đoản cú O và song song với đường cao.

Bước 2: xác minh toạ độ các điểm có liên quan (có thể xác minh toạ độ tất cả các điểm hoặc một vài điểm nên thiết)

Liệt kê toạ độ những điểm ngơi nghỉ đáy: Vô cùng dễ dãi vì ta trả toàn làm chủ hình dạng và kích cỡ đáy.

Tìm toạ độ những điểm bên trên cao, lơ lửng: quyết định bởi toạ độ chân đường cao H

§ đưa sử toạ độ H(a;b;0) đã tìm kiếm được ở đáy

§ Thì toạ độ đỉnh S (hoặc điểm tất cả H là hình chiếu) là S(a;b;h) cùng với h là đường cao của hình chop hoặc trụ đang phải kiếm được trước đó

Bước 3: Sử dụng các kiến thức về toạ độ để xử lý bài toán

Các dạng toán thường gặp:

· Độ dài đọan thẳng

· khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

· khoảng cách từ điểm đến đường thẳng

· khoảng cách giữa hai tuyến đường thẳng

· Góc giữa hai tuyến phố thẳng

· Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

· Góc thân hai mặt phẳng

· Thể tích khối đa diện

· diện tích thiết diện

· chứng minh các quan lại hệ tuy vậy song , vuông góc

· vấn đề cực trị, quỹ tích

B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

1. Hình chóp tam giác

Dạng 1. Dạng tam diện vuông

Ví dụ 1: mang lại hình chóp (O.ABC) bao gồm (OA = a), (OB = b), (OC = c) vuông góc nhau từng đôi một. Gọi (M) là điểm cố định và thắt chặt thuộc tam giác (ABC) có khoảng cách lần lượt đến các (mpleft( OBC ight)), (mpleft( OCA ight)), (mpleft( OAB ight))(1), (2), (3). Cực hiếm (a,b,c) để thể tích khối chóp (O.ABC)nhỏ độc nhất là bao nhiêu?

Hướng dẫn giải

*

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, ta có: (Oleft( 0;0;0 ight)), (Aleft( a; m 0; m 0 ight)), (Bleft( 0; m b; m 0 ight)), (Cleft( 0; m 0; m c ight)).

(dleft< M, m left( OAB ight) ight> m = m 3)( Rightarrow )(z_M = 3). Giống như ( Rightarrow )(Mleft( 1;,,2;,,3 ight)).

PT (mpleft( ABC ight):fracxa + fracyb + fraczc = 1). Vì(M in (ABC)) Þ(frac1a + frac2b + frac3c = 1) (1).

(V_O.ABC = frac16abc) (2).

((1) Rightarrow 1 = frac1a + frac2b + frac3c ge 3sqrt<3>frac1a.frac2b.frac3c)( Rightarrow frac16abc ge 27).

(2)( Rightarrow V_min = 27 Leftrightarrow frac1a = frac2b = frac3c = frac13).

Vậy (a = 3;,b = 6;,c = 9)

Dạng 2. Dạng tứ diện bao gồm một cạnh vuông góc một phương diện tại góc nhọn của tam giác vuông

Ví dụ 2: Tứ diện (S.ABC) gồm cạnh (SA) vuông góc với đáy và (Delta ABC) vuông tại (C). Độ dài của những cạnh (SA = 4), (AC = 3), (BC = 1). Gọi (M) là trung điểm của cạnh (AB), (H) là vấn đề đối xứng của (C) qua (M). Tính góc(alpha ) là góc phẳng nhị diện (left< H,,SB,,C ight>) (tính mang lại độ, phút, giây)

(alpha = 82^o35"57""). B. (alpha = 97^o24"2""). C. (alpha = 63^o30"). D. (alpha = 15^o14"13"").

Hướng dẫn giải

*

Cách 1:

Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc (Oxyz)như hình vẽ: (O equiv Aleft( 0;,0;,0 ight)); (Bleft( 1;,3;,0 ight)); (Cleft( 0;,3;,0 ight)); (Sleft( 0;,0;,4 ight)) với (Hleft( 1;,0;,0 ight))

Dựng mp(left( p. ight)) qua (H) vuông góc (SB) tại (I) cắt đường thẳng (SC) trên (K), thường thấy (left< H,,SB,,C ight>)=(left( overrightarrow IH ,overrightarrow IK ight))(1)

* tìm toạ độ véc tơ

·(overrightarrow SB = left( 1;,3;, - 4 ight))(overrightarrow SC = left( 0;,3;, - 4 ight)),

* Phương trình tham số đường thẳng (SB:left{ eginarraylx = 1 + t\y = 3 + 3t\z = - 4tendarray ight.), (SC:left{ eginarraylx = 0\y = 3 + 3t\z = - 4tendarray ight.), phương trình mp (left( phường ight):x + 3y - 4z - 1 = 0)

* tìm kiếm toạ độ giao điểm (I = SB cap left( p ight)) cùng (K = SC cap left( phường ight))Þ(Ileft( frac1726;frac5126;frac1813 ight)) , (Kleft( 0;frac5126;frac1813 ight)). Toạ độ véctơ (overrightarrow IH = left( frac926; - frac5126; - frac1813 ight)), (overrightarrow IK = left( - frac1726;0;0 ight)).

·(cos alpha = cos left< H,,SB,,C ight> = cos left( overrightarrow IH ,overrightarrow IK ight) = fracoverrightarrow IH .overrightarrow IK overrightarrow IK ight) =(frac - frac153676frac3sqrt 442 26.frac1726 approx - 0.1427)

·(alpha = 98^o12"13"")

Cách 2:

- lắp Ox = CA, Oy = CB. Không đề nghị Oz thì ta tất cả ngay (C(0;0;0)); A(3;0;0); B(0;1;0). Có h = 4 cùng A là chân con đường cao buộc phải S(3;0;4).

- H đối xứng với C qua M cần H = B + A – C = (3;1;0).

- hiện giờ ta thấy rõ ý tưởng phát minh của biện pháp đặt này. Trục Oz không có vai trò gì nhưng là độ cao h. Độ cao h ta buộc phải tính được mặc dầu ta tất cả làm theo phương thức gắn toạ độ tuyệt không.

Dạng 3. Dạng hình chóp tam giác phần nhiều (S.ABC):

Giả sử cạnh tam giác đều bằng (a) và đường cao bằng (h). điện thoại tư vấn (O) là tâm tam giác các (ABC).

Cách 1:

Trong (mpleft( ABC ight)), ta vẽ tia (Oy) vuông góc với (OA). Đặt (SO = h), chọn hệ trục tọa độ như hình mẫu vẽ ta được:

(Oleft( 0;0;0 ight)), (Aleft( fracasqrt 3 3 m;0;0 ight)), (Sleft( 0;0;h ight)). Suy ra toạ độ Þ(Ileft( - fracasqrt 3 6 m;0;0 ight)), (Bleft( - fracasqrt 3 6 m;fraca2 m;0 ight)), ( mCleft( - fracasqrt 3 6 m; - fraca2 m;0 ight))

*

Cách 2:

- đính thêm Ox = IA, Oy = IB thì tiện lợi liệt kê toạ độ những điểm bên dưới đáy, khôn cùng đẹp với là những số nguyên: (A(fracsqrt 3 a2;0;0)); (B(0;fraca2;0);C(0; - fraca2;0)) . O là trọng tâm tam giác ABC buộc phải (O(fracsqrt 3 a6;0;0))

- tất cả O là hình chiếu của S cần (S(fracsqrt 3 a6;0;h)): Rõ rang ta đâu buộc phải đến Oz !!!

2. Hình chóp tứ giác

Dạng 1. Hình chóp (S.ABCD) gồm cạnh (SA ot left( ABCD ight)) và đáy (ABCD) là hình vuông vắn (hoặc hình chữ nhật): Ta lựa chọn hệ trục toạ độ như dạng tam diện vuông

*

Chọn như mẫu vẽ là dễ dãi nhất

Dạng 2. Hình chóp tứ giác số đông (S.ABCD) bao gồm đáy (ABCD) là hình vuông vắn (hoặc hình thoi) chổ chính giữa (O) và có đường cao (SO ot left( ABCD ight)):

Ta lựa chọn hệ trục toạ độ: Tia (OA), (OB), (OS) thứu tự là (Ox), (Oy), (Oz). Giả sử số đo (SO = h), (OA = a), (OB = b) thì ta bao gồm toạ độ (Oleft( 0;,0;,0 ight)), (Aleft( a;,0;,0 ight)), (Bleft( 0;,b;,0 ight)), (Sleft( 0;,0;,h ight)) Þ(Cleft( - a;,0;,0 ight)), (Dleft( 0;, - b;,0 ight)).

*

Dạng 3. Hình chóp (S.ABCD) bao gồm đáy (ABCD) là hình chữ nhật và bao gồm cạnh (AB = b), tam giác (SAD) hầu như cạnh (a) cùng mp(left( SAD ight) ot left( ABCD ight))

*

Cách 1: thêm toạ độ như hình vẽ. Đây là cách nỗ lực gắn vào chân mặt đường cao để sở hữu Oz.Ta hotline (H)là trung điểm (AD), trong (left( ABCD ight)) ta vẽ tia (Hy ot AD). Ta lựa chọn hệ trục toạ độ (Hxyz): (Hleft( 0;,0;,0 ight)), (Aleft( fraca2; m0;0 ight)), ( mBleft( fraca2; mb;0 ight)), ( mCleft( - fraca2; mb;0 ight)), ( mDleft( - fraca2; m0;0 ight)), ( mSleft( 0; m0;fracasqrt 3 2 ight))

Cách 2:

- gắn thêm Ox=DC; Oy=DA như hình thì D(0;0;0), C(b;0;0) ; A(0;a;0); B(b;a;0); (H(0;fraca2;0)) bởi là trung điểm DA.

- H là hình chiếu của S và con đường cao chóp là (fracasqrt 3 2) phải (S(0;fraca2;fracasqrt 3 2))

3. Hình lăng trụ đứng

Dạng 1. Hình lập phương (ABCD.A"B"C"D") cạnh bằng (a):

Chọn hệ trục toạ độ sao cho: (A(0;0;0)), (B(a;0;0)), (C(a;a;0)), ( mD(0;a m;0)); (A"(0;0;a)), (B"(a;0;a)), (C"(a;a;a)), ( mD"(0;a m;a m))

*

Dạng 2. Hình hộp chữ nhật (ABCD.A"B"C"D") cạnh(AB = a), (AD = b), (AA" = c):

Chọn hệ trục toạ độ sao cho: (A(0;0;0)), (B(a;0;0)), (C(a;b;0)), (D m(0;b m;0)); (A"(0;0;c)), (B"(a;0;c)), (C"(a;b;c)), (D" m(0;b m;c))

*

Dạng 3. Hình hộp đứng lòng hình thoi (ABCD.A"B"C"D"):

Chọn hệ trục toạ độ sao cho: gốc trùng với giao điểm (O) của nhì đường chéo (AC), (BD); hai trục (Ox,Oy) lần lượt đựng hai đường chéo cánh của hình thoi, trục (Oz) trải qua tâm nhì đáy.

Xem thêm: Thực Đơn Ăn Dặm Bé 10 Tháng Tuổi Ăn Mau Chóng Lớn, Thực Đơn Ăn Dặm Hợp Lý Của Trẻ 10 Tháng Tuổi

*

B. BÀI TẬP CÓ GIẢI

Câu 1: cho tứ diện (ABCD) có các cạnh (AB,AC,AD) vuông góc nhau từng đôi một, có độ dài (AB = 3), (AC = AD = 4). Tính khoảng cách (d) tự điểm (A) cho mặt phẳng (left( BCD ight))

Hướng dẫn giải

*

Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc (Oxyz)như sau: (O equiv Aleft( 0;,0;,0 ight)); (Dleft( 4;,0;,0 ight)); (Cleft( 0;,4;,0 ight)); (Bleft( 0;,0;,3 ight))

* tìm kiếm phương trình mặt phẳng (left( BCD ight)): (fracx4 + fracy4 + fracz3 = 1)hay (3x + 3y + 4z - 12 = 0)

* Tính khoảng cách (d)= (dleft< A,left( BCD ight) ight>) =(fracleftsqrt 3^2 + 3^2 + 4^2 = frac6sqrt 34 17)

Câu 2: mang đến tứ diện (ABCD) tất cả (AD) vuông góc với khía cạnh phẳng (left( ABC ight)) cùng (AD = a), gồm tam giác (ABC) vuông trên (A) với (AC = b), (AB = c). Tính diện tích (S) của tam giác (BCD) theo (a,b,c).

Hướng dẫn giải

*

Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc (Oxyz)như sau: (O equiv Aleft( 0;,0;,0 ight)); (Bleft( c;,0;,0 ight)); (Cleft( 0;,b;,0 ight)); (Dleft( 0;,0;,a ight))

* tìm toạ độ véc tơ

· Cạnh của tam giác (BCD): (overrightarrow BC = left( - c;,b;,0 ight)), (overrightarrow BD = left( - c;,0;,a ight))

· Véctơ tích được bố trí theo hướng (left< overrightarrow BC ;overrightarrow BD ight> = left( ab;,ac;,bc ight))

* thực hiện công thức tính diện tích tam giác

·(S_BCD = frac12left| ,left< overrightarrow BC ,overrightarrow BD ight>, ight|) =(frac12sqrt a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2 )

Câu 3: đến tứ diện (O.ABC) có các tam giác (OAB), (OBC), (OCA) mọi là tam giác vuông trên đỉnh (O). Hotline (alpha m , eta m , gamma ) theo thứ tự là góc hòa hợp bởi các mặt phẳng (left( OBC ight)), (left( OCA ight)), (left( OAB ight)) với khía cạnh phẳng (left( ABC ight)). Tìm hệ thức lượng giác liên hệ giữa (alpha m , eta m , gamma ).

Hướng dẫn giải

*

Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc (Oxyz)như sau: (O(0;0;0)); (A(a;0;0)); (B(0;b;0)); (C(0;0;c)).

(overrightarrow AB = left( - a;,,b;,,0 ight)), (overrightarrow AC = left( - a;,,0;,,c ight))

* tìm vectơ pháp con đường của

·Mặt phẳng (left( ABC ight)): (overrightarrow n = left< overrightarrow AB ,overrightarrow AC ight> = left( bc;,,ca;,,ab ight))

·Mặt phẳng (left( OBC ight)): (overrightarrow i = left( 1;,,0;,,0 ight)) (vì: (Ox ot (OBC)))

·Mặt phẳng (left( OCA ight)): (overrightarrow j = left( 0;,,1;,,0 ight)) (vì: (Oy ot (OCA)))

·Mặt phẳng (left( OAB ight)): (overrightarrow k = left( 0;,,0;,,1 ight)) (vì: (Oz ot (OAB)))

* thực hiện công thức tính góc giữa hai mặt phẳng

·(cos alpha = cos left< left( OBC ight),left( ABC ight) ight>)Þ(cos alpha = fracleftsqrt b^2c^2 + c^2a^2 + a^2b^2 )

·(cos eta = cos left< left( OCA ight),left( ABC ight) ight>)Þ(cos eta = frac ac ightsqrt b^2c^2 + c^2a^2 + a^2b^2 )

·Þ(cos gamma = fracleftsqrt b^2c^2 + c^2a^2 + a^2b^2 )

* chuyển đổi và kết luận(cos gamma = cos left< left( OAB ight),left( ABC ight) ight>)

·(cos ^2alpha = fracb^2c^2b^2c^2 + c^2a^2 + a^2b^2)

·(cos ^2eta = fracc^2a^2b^2c^2 + c^2a^2 + a^2b^2)

·(cos ^2gamma = fraca^2b^2b^2c^2 + c^2a^2 + a^2b^2)

Vậy (cos ^2alpha + cos ^2eta + cos ^2gamma = 1)

Câu 4: đến hình chóp (SABC) bao gồm đáy (ABC) là tam giác vuông cân nặng với(AB = AC = a), có (SA)vuông góc với mặt phẳng (left( ABC ight)) cùng (SA = fracasqrt 2 2). Tính góc (varphi ) thân hai mặt phẳng (left( SAC ight)) với (left( SBC ight))

Hướng dẫn giải

*

Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc (Oxyz)như sau: (O equiv Aleft( 0;,0;,0 ight)); (Bleft( a;,0;,0 ight)); (Cleft( 0;,a;,0 ight)); (Sleft( 0;,0;,fracasqrt 2 2 ight)).

* kiếm tìm vectơ pháp con đường của

·Mặt phẳng .(left( SAC ight)).: (overrightarrow i = left( 1;,,0;,,0 ight)) (vì (Ox ot (SAC)))

·Mặt phẳng (left( SBC ight)): gồm cặp véc tơ chỉ phương (overrightarrow SB = left( a;0; - fracasqrt 2 2 ight)), (overrightarrow SC = left( 0;a; - fracasqrt 2 2 ight))Þvéc tơ pháp đường là (left< overrightarrow SB ,overrightarrow SC ight> = left( fraca^2sqrt 2 2;fraca^2sqrt 2 2;a^2 ight)) hay là (overrightarrow n = left( 1;,1;,sqrt 2 ight))

* Tính góc thân hai phương diện phẳng (left( SAC ight)) với (left( SBC ight))

(cos varphi = frac overrightarrow i .,overrightarrow n ight overrightarrow i ight = frac12)Þ(varphi = 60^o).

Câu 5: mang lại hình chóp (SABC) tất cả đáy (ABC) là tam giác vuông cân với(AB = AC = a), gồm (SA)vuông góc với mặt phẳng (left( ABC ight)) với (SA = fracasqrt 2 2). Tính khoảng cách (d) giữa hai tuyến đường thẳng (AI) với (SC), cùng với (I) là trung điểm cạnh (BC).

Hướng dẫn giải

*

Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc (Oxyz)như sau: (O equiv Aleft( 0;,0;,0 ight)); (Bleft( a;,0;,0 ight)); (Cleft( 0;,a;,0 ight)); (Sleft( 0;,0;,fracasqrt 2 2 ight)).

(overrightarrow AB = left( a;,,b;,,0 ight)), (overrightarrow AC = left( 0;a;0 ight))

* tra cứu vectơ pháp con đường của

·Mặt phẳng (left( SAC ight)): (overrightarrow i = left( 1;0;0 ight)) (vì (Ox ot (SAC)))

·Mặt phẳng (left( SBC ight)): tất cả cặp véc tơ chỉ phương (overrightarrow SB = left( a;0; - fracasqrt 2 2 ight);overrightarrow SC = left( 0;a; - fracasqrt 2 2 ight))Þ véc tơ pháp đường là (left< overrightarrow SB ,overrightarrow SC ight> = left( fraca^2sqrt 2 2;fraca^2sqrt 2 2;a^2 ight)) tốt là (overrightarrow n = left( 1;,1;,sqrt 2 ight))

* Tính khoảng cách (d) giữa hai đường thẳng (AI) với (SC)

· bởi vì I là trung điểm của BC Þ(Ileft( fraca2;fraca2;0 ight))nên ta có:(overrightarrow AI = left( fraca2;fraca2;0 ight)) , (overrightarrow SC = left( 0;a; - fracasqrt 2 2 ight)), (left< overrightarrow AI ,overrightarrow SC ight> = left( - fraca^2sqrt 2 4;fraca^2sqrt 2 4;fraca^22 ight)), (overrightarrow AS = left( 0;0;fracasqrt 2 2 ight))Þ(left< overrightarrow AI ,overrightarrow SC ight>.overrightarrow AS = fraca^3sqrt 2 4) , mà lại (left| left< overrightarrow AI ,overrightarrow SC ight> ight| = sqrt fraca^48 + fraca^48 + fraca^44 = fraca^2sqrt 2 ).

· Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng AI với SC là (fleft( AI,SC ight) = fracleft = fraca^3sqrt 2 4.fracsqrt 2 a^2 = fraca2)

Câu 6: mang đến hình chóp (O.ABC) bao gồm (OA = a), (OB = b), (OC = c) vuông góc nhau từng đôi một. Gọi M là điểm thắt chặt và cố định thuộc tam giác (ABC) có khoảng cách lần lượt đến các (mpleft( OBC ight)), (mpleft( OCA ight)), (mpleft( OAB ight)) là 1, 2, 3. Giá chỉ trị(a,b,c) để thể tích khối chóp(O.ABC)nhỏ duy nhất là

Hướng dẫn giải

*

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, ta có: (Oleft( 0;0;0 ight)), (Aleft( a;0;0 ight)), (Bleft( 0;b;0 ight)), (Cleft( 0;0;c ight)).

(dleft< M,left( OAB ight) ight> = 3).( Rightarrow ) . (z_M = 3).Tương từ bỏ ( Rightarrow )(Mleft( 1;,2;,3 ight)).

PT (mpleft( ABC ight):fracxa + fracyb + fraczc = 1). (M in (ABC) Rightarrow frac1a + frac2b + frac3c = 1) (1).

(V_O.ABC = frac16abc) (2).

((1) Rightarrow 1 = frac1a + frac2b + frac3c ge 3sqrt<3>frac1a.frac2b.frac3c)( Rightarrow frac16abc ge 27) .

(2)( Rightarrow V_min = 27 Leftrightarrow frac1a = frac2b = frac3c = frac13).

Vậy (a = 3;,b = 6;,c = 9)

Câu 7: cho hình chóp tam giác những (S.ABC) gồm độ dài cạnh lòng là (a). điện thoại tư vấn (M,N) lần lượt là là trung điểm (SB,SC). Cho biết thêm (left( AMN ight)) vuông góc với (SBC); Tính theo (a) diện tích (Delta AMN).

Hướng dẫn giải

*

Cách 1:

Gọi (O) là hình chiếu của (S) trên (left( ABC ight)), ta suy ra (O) là giữa trung tâm (Delta ABC). điện thoại tư vấn (I) là trung điểm của (BC), ta có: (AI = fracsqrt 3 2BC = fracasqrt 3 2)Þ(OA = fracasqrt 3 3), (OI = fracasqrt 3 6).

Trong mp(left( ABC ight)), ta vẽ tia (Oy) vuông góc với (OA). Đặt (SO = h), chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ ta được: (Oleft( 0; m 0; m 0 ight)), (Aleft( fracasqrt 3 3 m;0;0 ight)), (Sleft( 0; m 0; m h ight))

Suy ra toa độ Þ(Ileft( - fracasqrt 3 6 m;0;0 ight)), (Bleft( - fracasqrt 3 6 m;fraca2 m;0 ight)), ( mCleft( - fracasqrt 3 6 m; - fraca2 m;0 ight)), ( mMleft( - fracasqrt 3 12 m;fraca4 m;frach2 ight))(Nleft( - fracasqrt 3 12 m; - fraca4 m;frach2 ight)).

* Véctơ pháp tuyến đường mp(left( AMN ight)): (overrightarrow n __left( AMN ight) = left< overrightarrow AM ,overrightarrow AN ight>) =(left( fracah4 m;0;frac5a^2sqrt 3 24 ight)), mp(left( SBC ight)): (overrightarrow n __left( SBC ight) = left< overrightarrow SB ,overrightarrow SC ight>) =(left( - ah m;0;fraca^2sqrt 3 6 ight)). Từ đưa thiết ((AMN) ot (SBC))Þ(overrightarrow n __left( AMN ight).overrightarrow n __left( SBC ight) = 0)ÞÞ(h^2 = frac5a^212) .

* diện tích tam giác (AMN): (S_Delta AMN = frac12left| left< overrightarrow AM , m overrightarrow AN ight> ight| = fraca^2sqrt 10 16)

Cách 2: đính thêm IA = Ox, IB = Oy ta tất cả (A(fracasqrt 3 2;0;0);B(0;fraca2;0);C(0; - fraca2;0)) . O là trọng tâm tâm giác ABC đề xuất (O(fracasqrt 3 6;0;0))( Rightarrow )(S(fracasqrt 3 6;0;h)) . Đến trên đây ta đo lường như trên.

Xem thêm: Phim Nam Đế Bắc Cái Thuyết Minh, Phim Nam Đế Bắc Cái

Câu 8: mang lại hình lăng trụ tam giác (ABC.A_1B_1C_1) gồm đáy là tam giác mọi cạnh bằng (a), có(AA_1 = 2a) và vuông góc với khía cạnh phẳng (left( ABC ight)). điện thoại tư vấn (D) là trung điểm của (BB_1); đem điểm (M) di động cầm tay trên cạnh (AA_1). Tìm giá bán trị bự nhất, nhỏ nhất của diện tích tam giác (MC_1D).

Hướng dẫn giải

*

Chọn hệ trục tọa độ (Oxyz) sao để cho (O equiv Aleft( 0;,0;,0 ight)); (B in Oy): (Bleft( 0;,a;,0 ight)), (A_1 in Oz): (A_1left( 0;,0;,2a ight))Þ(C_1left( fracasqrt 3 2;,fraca2;,2a ight))(Dleft( 0;,a;,a ight))

Do (M) di động trên (AA_1) tất cả tọa độ (Mleft( 0;,0;,t ight)) cùng với (t in left< 0;,,2a ight>)

Ta có: (S_Delta DC_1M = frac12left| left< overrightarrow DC _1,overrightarrow DM ight> ight|)

(overrightarrow DC _1 = left( fracasqrt 3 2; - fraca2;a ight)), (overrightarrow DM = left( 0; - a;t - a ight))( Rightarrow left< overrightarrow DG ,overrightarrow DM ight> = )(frac - a2left( t - 3a;sqrt 3 (t - a);asqrt 3 ight))Þ(left| left< overrightarrow DG ,overrightarrow DM ight> ight| = fraca2sqrt (t - 3a)^2 + 3(t - a)^2 + 3a^2 = fraca2sqrt 4t^2 - 12at + 15a^2 ). (S_Delta DC_1M = frac12.fraca2.sqrt 4t^2 - 12at + 15a^2 )

Xét (fleft( t ight) = 4t^2 - 12at + 15a^2) cùng với (t in left< 0;,,2a ight>). Ta có (f"left( t ight) = 8t - 12a) ; (f"left( t ight) = 0 Leftrightarrow t = frac3a2)

Giá trị lớn số 1 của hàm số đạt được khi (t = 0)(left( M equiv A ight)), vậy GTLN của diện tích là (S_MC_1D = fraca^2sqrt 15 4)