Xét sự hội tụ của chuỗi số dương

     
Bài giảngGiải tích 1Giải tích 2Đại số đường tính (Linear Algebra)Xác suất thống kêVideo bài xích giảngThảo luậnThảo luận về giải tíchThảo luận ĐSTTThảo luận XSTKEbooksMaths Ebooks

Shortlink: http://wp.me/P8gtr-31

1. Các dấu hiệu so sánh (The basic comparison test):

Xét chuỗi

*

Khi kia nếu tổng riêng rẽ phần

*
là hàng không giảm và nếu nó bị chặn trên thì chuỗi (1) hội tụ.

Bạn đang xem: Xét sự hội tụ của chuỗi số dương

1.1 vệt hiệu đối chiếu hai chuỗi số dương :

1.1.1 vệt hiệu so sánh 1:

Cho nhì chuỗi

*
thỏa điều kiện:
*
(*). Khi đó:

Nếu chuỗi

*
hội tụ thì
*
hội tụ.

Ngược lại, giả dụ chuỗi

*
phân kỳ thì
*
phân kỳ.

Chứng minh

Không mất tính tổng quát, giả sử

*
.

Gọi Sn và Tn là tổng riêng biệt phần tương xứng của chuỗi (1) và chuỗi (2)

Do (*) ta có: Sn ≤ Tn

Vì chuỗi (2) quy tụ nên Tn → T

Vì các số hạng của chuỗi luôn dương đề xuất Tn

1.1.2 vết hiệu đối chiếu 2 :

Cho nhị chuỗi số dương

*
,
*

Giả sử

*

1. Trường hợp k = 0 thì chuỗi (2) quy tụ suy ra chuỗi (1) hội tụ.

2.

*
thì hai chuỗi cùng hội tụ hoặc thuộc phân kỳ.

3.

*
thì chuỗi (1) hội tụ suy ra chuỗi (2) hội tụ.

Chứng minh

Chứng minh tác dụng 1:

Do

*
nên:

*
.

Vậy theo dấu hiệu đối chiếu 1, giả dụ chuỗi (2) hội tụ thì chuỗi (1) hội tụ.

Xem thêm: Lại Tốn Cơm Với Món Sườn Xào Chua Ngọt Bếp Nhà Cháu, Lại Tốn Cơm Với Món Sườn Kho Sả Ớt

Chứng minh hiệu quả 2:

Giả sử

*
. Lúc đó, vì
*
nên:

*

Vậy theo lốt hiệu đối chiếu 1, nếu như chuỗi (2) hội tụ thì chuỗi (1) hội tụ.

Mặt khác do

*
.

Vì vậy, theo trên, nếu chuỗi (1) hội tụ thì chuỗi (2) hội tụ.

Vậy mệnh đề 2 đúng

Kết trái 3 được suy ra từ hiệu quả 1 và 2.

1.1.3 Tiêu chuẩn chỉnh tích phân:

Xét hàm số

*
cùng f giảm. Với tất cả
*
, để
*

Khi đó: tích phân suy rộng

*
quy tụ khi và chỉ khi chuỗi
*
hội tụ.

1.2 Tiêu chuẩn D’Alambert với Cauchy:


*

Image by mseery via Flickr


1.2.1. Tiêu chuẩn chỉnh Cauchy (tiêu chuẩn căn thức) – Cauchy’s root test ( Cauchy’s radical test):

Cho

*
là chuỗi số dương. Mang sử rằng:

*
x_n = C " class="latex" />

Khi đó họ có:

1. Ví như C 1, thì chuỗi

*
là phân kỳ.

3. Trường hợp C = 1, thì chuỗi

*
rất có thể hội tụ hoặc phân kỳ. Nói biện pháp khác, ta không thể kết luận được sự hội tụ của chuỗi.

1.2.2 Tiêu chuẩn chỉnh D’Lambert – ratio test:

Cho

*
là chuỗi số dương thế nào cho
*
. Mang sử rằng:

*

Khi đó chúng ta có:

1. Giả dụ D 1, thì chuỗi

*
là phân kỳ.

Xem thêm: Xe Điện X-Men Giá Bao Nhiêu, Xe Máy Điện Xmen Bao Nhiêu Tiền

3. Giả dụ D = 1, thì chuỗi

*
rất có thể hội tụ hoặc phân kỳ. Nói biện pháp khác, ta chưa thể kết luận được sự hội tụ của chuỗi.